Betz's law - Wind Power Plus

La Ley de Betz describe la máxima potencia que puede extraer la turbina eólica del viento de manera independiente al diseño aerodinámico. La producción de energía de un aerogenerador depende de la interacción de su rotor con el viento. En 1919, el físico alemán Albert Betz, profesor de mecánica aplicada, planteo un modelo sencillo que permite determinar la potencia de un rotor de turbina eólica ideal, el empuje del viento sobre el rotor y el efecto del funcionamiento del rotor. Este modelo se basa en la teoría del momento lineal, despreciando varios efectos para obtener un modelo más sencillo, llegando a la conclusión de un límite teórico conocido como el "límite de Betz".

Potencia eólica extraíble

Para realizar el análisis de la potencia que puede extraer el rotor de un aerogenerador, se utiliza las siguientes suposiciones:

Fluido homogéneo, incompresible, en estado estacionario (densidad constante).
No hay arrastre por fricción.
Número infinito de palas.
Empuje uniforme en la zona del disco o rotor.
Estela no giratoria.
La presión estática aguas arriba y aguas abajo del rotor es igual a la presión estática no perturbada ambiental.

El cálculo se basa en la teoría del momento. Se utiliza el modelo Rankine-Froude. Este modelo considera el volumen barrido por las palas del aerogenerador como un disco infinitamente fino. Se establece un flujo de aire a través del área barrida por las palas del aerogenerador analizado en un volumen de control que puede dividirse en 4 secciones.

Figura 1: Flujo de viento circulando a través de un modelo simple del rotor de una turbina eólica.

Donde:

V₁: Velocidad del viento aguas arriba (m/s).
V₂: Velocidad del viento justo antes de interactuar con el disco.
V₃: Velocidad del viento inmediatamente después de la interacción del disco.
V₄: Velocidad del viento aguas abajo (m/s).
p: Presión del aire.
F: Fuerza que actúa sobre el disco.
A_w: Área del disco actuador.

El disco divide en dos volúmenes de control. Por lo tanto, se aplica el principio de Bernoulli para el volumen aguas abajo:

También, se aplica el principio de Bernoulli para el volumen aguas arriba:

Se asume que las presiones aguas arriba y aguas abajo son iguales (p₁ = p₄) y las velocidades del viento justo antes y después del disco son iguales (V₂ = V₃). Si resolvemos las dos ecuaciones anteriores, se puede encontrar una solución para (p₂ – p₃):

La fuerza sobre el disco actuador es:

Reemplazando el valor de (p₂ – p₃) en la ecuación anterior se obtiene:

El fluido ejerce una fuerza F sobre el disco que puede ser calculado a partir de la variación de la cantidad del movimiento:

Igualando ambas expresiones para la fuerza F en el disco se obtiene:

Por lo tanto, la velocidad del viento que está muy cerca al disco actuador es aproximadamente igual a la semisuma de las velocidades del viento aguas arriba (V₁) y aguas abajo (V₄).

Se define el factor de inducción axial (a), como la disminución fraccional de la velocidad del viento entre la corriente libre y el plano del rotor:

Luego, se obtiene las velocidades V₂ y V₄ en función de la velocidad de entrada V₁ y el factor de inducción axial (a):

La potencia (P) que el flujo de aire transfiere al rotor del aerogenerador es el producto de la fuerza (F) y la velocidad (V₂).

Sustituyendo los valores de V₂ y V₃ en función de V₁ y el factor de inducción axial (a), se puede obtener la potencia mecánica del aerogenerador:

Donde:

P_m: Potencia mecánica.
A_r: Superficie barrida por las palas del aerogenerador (m²).
V_w: Velocidad del viento aguas arriba (m/s).
ρ: Densidad del aire (kg/m³).

El factor que limita la transferencia de potencia es 4a(1-a)². Por lo tanto, el aerogenerador tiene un límite de extracción de energía que proviene de la velocidad del viento.

Cálculo del límite de Betz

El factor que restringe la potencia mecánica del aerogenerador es denominado Coeficiente de Potencia (Cp). El valor máximo del Cp se obtiene derivando respecto al factor de inducción axial (a).

El valor máximo se obtiene cuando a=1/3:

La Figura 2 muestra un gráfico del coeficiente de potencia en función del factor de inducción axial. Para valores superiores a 0,5, el coeficiente de potencia carece de sentido físico.

Figura 2: Coeficiente de potencia Cp(a) en función del factor de inducción axial.

Albert Betz afirmó que la energía máxima que teóricamente puede extraerse del viento es sólo el 59,3% de la energía cinética llevada por el viento . Este límite no se debe a un diseño defectuoso del aerogenerador, sino al volumen de control en el que se realizó el análisis. Además, en su libro “Wind Energie”, describe gran parte de los conocimientos sobre la energía eólica en aquella época.

La teoría de la energía eólica: El legado de Albert Betz

El libro "Wind energie" de Albert Betz es un texto clásico en el campo de la energía eólica. Publicado originalmente en alemán en 1926, está considerado uno de los primeros trabajos académicos en este campo.

En el libro, Betz presenta un detallado análisis teórico de la energía eólica y los aerogeneradores. Desarrolla una teoría matemática para describir el comportamiento del viento y cómo los aerogeneradores pueden captar y convertir la energía eólica en energía eléctrica. El libro también analiza el diseño de los aerogeneradores y cómo pueden optimizarse para maximizar la producción de energía. Betz proporciona cálculos y gráficos detallados para ilustrar sus conceptos.

Aunque el libro se escribió hace casi un siglo, sigue siendo relevante hoy en día, siendo un recurso valioso para quienes trabajan en el campo de la energía eólica. La Figura 3 muestra la portada del libro.

Figura 3: Portada del libro "Wind Energie", 1926.

En resumen, la Ley de Betz establece un límite fundamental a la cantidad máxima de energía que puede extraer el aerogenerador del viento, lo que tiene importantes implicaciones para el diseño y la eficiencia de los parques eólicos. Aunque la Ley de Betz es un límite teórico, los avances tecnológicos en aerogeneradores y sistemas de control de la energía permiten a los parques eólicos alcanzar eficiencias cada vez mayores y aprovechar al máximo la energía eólica.

“La ley de Betz establece que sólo el 59% de la energía cinética del viento puede convertirse en energía mecánica para mover el aerogenerador”.