Energía que el mundo necesita
Transformaciones de Clarke y Park
Las Transformaciones de Park y Clarke son herramientas matemáticas fundamentales en el campo de ingeniería eléctrica y electrónica, utilizadas para simplificar el análisis y control de sistemas trifásicos. La Transformación de Clarke convierte una señal trifásica (a,b,c) en un sistema bifásico (α,β), facilitando el estudio de los componentes simétricos y desequilibrados. La transformación de Park, por otra parte, lleva estas componentes a un marco de referencia rotativo (d,q). Esta transformación es especialmente útil en el control de máquinas eléctricas y convertidores electrónicos de potencia, ya que permite una regulación precisa de las magnitudes eléctricas.
La teoría de los marcos de referencia utiliza transformaciones matemáticas para simplificar el modelado, el análisis y la simulación de circuitos trifásicos equilibrados, convertidores de potencia y máquinas eléctricas. En ingeniería eléctrica se utilizan tres tipos principales de marcos de referencia. Estos marcos de referencia se clasifican según la velocidad del marco de referencia y la naturaleza de las variables implicadas.
Marco de referencia natural abc
El marco de referencia tiene una velocidad (ω) de cero y se denomina marco estacionario de tres fases. Las variables trifásicas exhiben una naturaleza variable en el tiempo (AC) con un desplazamiento de fase de 120 grados. Este marco representa la correlación real entre la construcción de la máquina o el convertidor de energía y el modelo matemático correspondiente.
Las variables trifásicas equilibradas genéricas se consideran como sigue:
Donde 𝐹 es la amplitud pico (V, A or Wb), 𝜔 es la frecuencia angular (rad/s), θ0 es la fase inicial y 𝑡 es el tiempo.
La función trifásica se representa mediante un fasor en el espacio del sistema de referencia natural equivalente, como se muestra a continuación:
Donde a es el operador Fortescue:
Sistema de referencia estacionario αβ: Transformación de Clarke
La transformación de Clarke es una herramienta matemática utilizada en ingeniería eléctrica, y en particular para el control vectorial, para modelar un sistema trifásico utilizando un modelo bifásico. Fue propuesta por Edith Clarke, una de las primeras mujeres pioneras en el campo de la ingeniería eléctrica. Inventó una calculadora gráfica que facilitaba la resolución de ecuaciones eléctricas. Fue la primera mujer en presentar un artículo científico en la reunión anual del Instituto Americano de Ingenieros Eléctricos (AIEE) en 1926. Además, fue la primera mujer en obtener un máster en ingeniería eléctrica por el MIT y la primera catedrática de ingeniería eléctrica de la Universidad de Texas en Austin.
La transformación de Clarke es también conocido como la transformación αβ, y son precisamente estas coordenadas complejas (α como componente real y β como componente imaginaria del sistema bifásico) sobre las que proyectamos nuestro sistema trifásico (a, b, c) de tensiones o corrientes de fase.
El fasor en el espacio del marco de referencia natural, 𝑓𝑎𝑏𝑐(𝑡), se descompone en componentes real e imaginario para formar un fasor en el espacio del marco de referencia estacionario.
El ángulo entre las componentes α y β se calcula del siguiente modo:
La matriz de transformación de Clarke se aplica del siguiente manera:
Marco de referencia síncrono dq: Transformación de Park
La transformación de Park, también conocida como transformación del eje dq, es una herramienta matemática utilizada en la teoría de máquinas eléctricas para simplificar el análisis y el control de máquinas de corriente alterna (CA), como motores síncronos o de inducción y generadores. Robert H. Park es recordado por desarrollar las “ecuaciones de Park”, presentadas en 1929, que simplificaron enormemente el cálculo del comportamiento dinámico de generadores y motores de corriente alterna, y que han sido fundamentales en la ingeniería de sistemas de energía eléctrica. Sus trabajos permitieron un análisis práctico y eficaz de la estabilidad y fiabilidad de los sistemas eléctricos frente a perturbaciones. Además, durante la Segunda Guerra Mundial desarrolló minas magnéticas para la Marina estadounidense, por las que obtuvo múltiples patentes. A lo largo de su vida, Park fue un innovador prolífico, con 64 patentes, y su contribución sigue siendo clave en el campo de la ingeniería eléctrica. Park presentó su ponencia a la AIEE titulada “Two reactions theory of synchronous machines” en el que presentó una generalización y ampliación de los trabajos de Blondel, Dreyfus y Doherthy y Nickle. En este trabajo se establecieron métodos generales para calcular la corriente, la potencia y el par en máquinas síncronas de polos salientes y de ruptura suave, tanto en condiciones estacionarias como transitorias.
La transformación de Park convierte las variables trifásicas de corriente y tensión (que varían sinusoidalmente en el tiempo) a un sistema de coordenadas de referencia giratorio (ejes directo “d” y en cuadratura “q”), en el que estas variables se vuelven constantes o de menor frecuencia. Esto facilita el análisis de máquinas eléctricas y el diseño de controladores.
El fasor en el espacio del sistema de referencia natural, 𝑓𝑎𝑏𝑐 (𝑡), se descompone en componentes real e imaginario para formar un fasor en el espacio del sistema de referencia síncrono.
Cuando el eje a está alineado con el eje q la ecuación es:
Cuando el eje a está alineado con el eje d la ecuación es:
Donde θ (En ambos casos, θ = ωt) es el ángulo entre los ejes a y q para la orientación del ejeqo el ángulo entre los ejes a y d para la orientación del eje d, ω es la velocidad de rotación del sistema de referencia dq, t es el tiempo, desde la orientación inicial.
Ejemplo
Se muestra una señal de tensión eficaz trifásica de 220 V y 60 Hz durante 0,45 segundos en los marcos de referencia abc, αβ0 y dq0 en tres condiciones. Entre los instantes t=0 y t=0,15, el sistema es trifásico equilibrado. Entre los instantes t=0,15 y t=0,3, la fase “a” sufre una disminución del 60% del valor eficaz de la tensión. Por último, entre los instantes t=0,30 y t=0,45, se introducen armónicos de la 5ª y 7ª secuencias positivas, con una amplitud del 20% y el 15% del valor eficaz de la tensión, respectivamente.
Aplicaciones
Las transformaciones de Clarke y Park se desarrollaron originalmente para facilitar el análisis y el modelado de máquinas eléctricas. Hoy en día, los modelos basados en dq0 se utilizan en una amplia gama de aplicaciones, como control y accionamiento eléctrico, modelado de máquinas múltiples y convertidores de potencia, vehículos eléctricos, simulación de microrredes, bucles de fase bloqueada (PLL) y filtros de potencia activa. Además, estas transformaciones son esenciales en el campo de las energías renovables. En numerosos casos, los componentes dq ya no se limitan a los ejes directo y de cuadratura de una máquina eléctrica, lo que sugiere una interpretación más amplia de los marcos de referencia, desvinculada de tecnologías o aplicaciones específicas.
Conclusión
Las transformaciones de Clarke y Park son herramientas matemáticas esenciales para el análisis y el control de los sistemas eléctricos trifásicos, y simplifican el estudio de las señales eléctricas. La transformación de Clarke convierte las señales trifásicas en un sistema bifásico, lo que permite identificar los componentes simétricos y desequilibrados. La Transformación de Park, sin embargo, introduce estos componentes en un marco de referencia giratorio, lo que resulta útil para una control de máquinas eléctricas y convertidores de potencia. Estas transformaciones se aplican a diversas áreas, como el control de motores, los convertidores, las microrredes y las energías renovables, permitiendo una interpretación más general de los marcos de referencia para análisis eléctricos complejos.
Referencia
[1] O’Rourke, C. J., Qasim, M. M., Overlin, M. R., & Kirtley, J. L. (2019). A geometric interpretation of reference frames and transformations: Dq0, Clarke, and park. IEEE transactions on energy conversion, 34(4), 2070–2083. https://doi.org/10.1109/tec.2019.2941175
