Distribuciones de Weibull y Rayleigh

Las distribuciones de Weibull y Rayleigh son distribuciones de probabilidad continuas utilizadas para caracterizar los datos aleatorios de las velocidades del viento. Estas funciones de distribución se caracterizan por parámetros y su finalidad es modelar la distribución de probabilidad de las velocidades del viento.

Para describir el recurso eólico, se registran las mediciones de dos variables como la velocidad y la dirección del viento. La velocidad del viento (magnitud) se mide con un anemómetro. Los datos de la magnitud de la velocidad del viento se procesan para determinar el potencial eólico de un lugar determinado. Los datos forman la distribución de probabilidad de las velocidades del viento, que permite calcular el potencial energético y la energía anual que puede producir un aerogenerador y un parque eólico.

Función de Distribución de Weibull

Waloddi Weibull fue un matemático e ingeniero sueco. Estudió en el Real Instituto de Tecnología de Estocolmo y su doctorado en la Universidad de Uppsalla en 1932. Sus aportes son en el área de la fatiga de materiales y en estadística por sus estudios en la distribución de Weibull. La distribución de probabilidad que lleva su nombre se publicó en el Journal of Applied Mechanics titulado como Statistical Distribution Function of Wide Applicability. La distribución de Weibull es inmensamente popular en la teoría de la fiabilidad, ya que incluye distribuciones de tasas de fallo decrecientes, constantes y crecientes. Recibió la Medalla de Oro de la Sociedad Americana de Ingenieros Mecánicos en 1972 y la Gran Medalla de oro de la Academia Sueca de Ciencias de la Ingeniería en 1978.

En la mayoría de los casos de interés energético, la distribución de probabilidad de la velocidad del viento se aproxima a la función de densidad de probabilidad de Weibull. Dado que la velocidad del viento cambia continuamente, es necesario describirla estadísticamente. La distribución de Weibull puede utilizarse para modelar una amplia gama de aplicaciones en ingeniería, control de calidad, finanzas y climatología.

Según la aplicacion, la distribución de Weibull depende de tres o dos parámetros, los cuales determinan la forma, la escala y la localización de la función de distribución.

v: Velocidad del viento (m/s).
f(v): Función de densidad de probabilidad de Weibull.
c: Factor de escala (m/s), cuyo valor se aproxima a la velocidad media anual.
k: Factor de forma, que caracteriza la asimetría o asimetría de la función f(v).
u: Factor de localización.

Se presentan los siguientes casos para observar cómo afectan los parámetros a la distribución de Weibull:

En función del factor de forma "k" y con factor de escala "c" constante

En la Figura 2 se muestra la distribución de Weibull (2 parámetros) para diferentes parámetros de forma (k) y un parámetro de escala constante (c). Las velocidades del viento se distribuyen con valores desde 0 a 20 m/s. Se observa que a medida que "k" es mayor, la variación de la velocidad del viento media horaria alrededor a la media anual es pequeña. Para valores de "k" menor o igual a 3, se aprecia que la variación es más significativa.

En función del factor de escala "c" y con factor de forma "k" constante

En la Figura 3 se muestra la distribución de Weibull (2 parámetros) para diferentes parámetros de escala (c) y un parámetro de la forma constante (k). Las velocidades del viento se distribuyen con valores desde 0 a 20 m/s. El valor de "c" nos indica que tan ventoso es el lugar estudiado, es decir, a mayor valor de "c" se tendrá una mayor velocidad de viento media anual.

Como se puede observar, los parámetros de Weibull son muy importantes para realizar una aproximación muy cercana a la distribución de las velocidades de viento. El cálculo de los parámetros de Weibull puede realizarse por diferentes maneras en función a los datos eólicos obtenidos. A una mayor cantidad de datos de velocidad de viento durante un año, se podrá obtener parámetros más exactos. Es recomendable tomar datos de la velocidad media del viento en cortos intervalos de tiempo (10 minutos) durante un año.

Función de distribución de Rayleigh

John Rayleigh fue un matemático y físico británico. Estudio en la Universidad de Cambridge donde se graduó en 1865. Fue profesor de física experimental y director del Laboratorio Cavendish de Cambridge. En 1908 fue nombrado Rector de la Universidad de Cambridge. Realizó investigaciones sobre la luz, el color, la electricidad, la dinámica de la resonancia y las vibraciones de gases. En 1904 ganó el Premio Novel de Física por sus investigaciones sobre la densidad de una buena cantidad de gases, así como el descubrimiento del argón, el primer gas raro encontrado en la atmósfera. Además, fue responsable de determinar las unidades eléctricas de medidas.

La distribución de Rayleigh es un caso particular a la distribución de Weibull con parámetro de la forma (k) igual a 2. Es más sencilla al tratarse de una función de un solo parámetro. La distribución de Rayleigh se utiliza en diversas aplicaciones como en las ciencias físicas para modelar el comportamiento de las olas, velocidad de viento, radiación de sonido/luz, en la teoría de las comunicaciones, en la ciencia de la imagen médica, entre otras.

v: Velocidad del viento (m/s).
f(v): Función de densidad de probabilidad de Weibull.
c: Factor de escala (m/s), valor próximo a la velocidad media anual.

En la Figura 5 se muestra la distribución de Rayleigh para diferentes parámetros de escala (c). Las velocidades del viento se distribuyen con valores desde 0 a 20 m/s. Se observa que esta distribución es más adecuada cuando los parámetros de escala son superiores a 5 m/s. A partir de este valor, la diferencia entre las distribuciones de Rayleigh no difiere significativamente.

¿Cuándo debería utilizar la distribución de Weibull o de Rayleigh?

La distribución de Weibull puede aplicarse para cualquier valor de velocidad media anual del viento en la zona de estudio. El detalle es que debemos tener una buena base de datos de velocidades de viento en intervalos de tiempos cortos, generalmente en franjas de 10 minutos (medición diez minutaría) para el estudio de un año. Si en la zona de estudio se presentan buenas condiciones del recurso eólico, la distribución de Rayleigh describe adecuadamente la velocidad del viento de la zona.

Por el contrario, la distribución de Rayleigh es menos confiable cuando la velocidad media anual del viento del lugar de estudio no supera el valor de 4.5 m/s. Además, si se cumple que en el lugar existe una baja turbulencia y pequeña variabilidad del viento, la distribución de la velocidad del viento se ajusta correctamente a la distribución de Rayleigh.

Finalmente, el cálculo de los parámetros de la distribución de Weibull y Rayleigh son muy importantes para lograr una aproximación adecuada a la distribución de probabilidad de las velocidades del viento. La estimación de los parámetros se puede encontrar en el siguiente artículo:

Cálculo por el método de los mínimos cuadrados

Referencia

[1] Villarrubia López M. (2012). Ingeniería de la Energía Eólica. Facultad de Física, Universidad de Barcelona. Alfaomega Grupo Editor, S.A. de C.V.

[2] Munteanu, I., Bratcu, A. I., Cutululis, N.-A., & Ceanga, E. (2010). Optimal control of wind energy systems: Towards a global approach. Springer.